Todo Sobre el Número Cero en Matemáticas | Superprof (2024)

«¡El infinito solo puede conducir al cero y viceversa!» -Pierre Dac (1893-1975)

Cualquier alumno de primaria, secundaria y bachillerato sabe bien que sacar un 0 o una nota cercana al 0, es sinónimo de fracaso y de suspenso, y en clase de Matemáticas, ¡las notas cercanas al 0 suelen abundar!

Lo que no se sabe tanto es queel número cero tiene una historia milenaria. Aquí tienes nuestra mini guía sobre el número 0, su historia y sus usos.

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¿Qué es el 0?

El cero (0) es un número entero que simboliza el valor nulo, por lo que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Como sabes, si se coloca a la derecha de un número entero, multiplica por 10 su valor (por ejemplo: 1 / 10), mientras que, si está situado a la izquierda, no modifica su valor. ¡De ahí la expresión de «ser un cero a la izquierda»!

Si lo usamos como número, con él podemos realizar operaciones algebraicas como sumas, restas, multiplicaciones, entre otras. Sin embargo, al ser la expresión del valor nulo (nada, nadie, ninguno...), podemos encontrarnos con expresiones indeterminadas o que carecen de sentido, como veremos más adelante.

En el conjunto ordenado de los números enteros, el cero es el elemento que sigue al –1 y precede al 1. Además, algunos matemáticos consideran que el cero pertenece al grupo de los números naturales (los que nos permiten contar el número de elementos de ciertos conjuntos), y el conjunto vacío tiene ningún elemento. El número cero se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo): X + (–X) = 0.

La ventaja de incluir el cero en el sistema decimal posicional (el que usamos hoy en día) es que se puede escribir cualquier número con solo 10 dígitos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), lo cual hace mucho más fácil operar con cantidades muy grandes. Esto contrasta, por ejemplo, con el sistema numérico romano (basado en las letras I, V, X, L, C, D y M, que, como sabes, representan los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000). ¿Por qué? ¡Te lo explicamos!

En un sistema posicional, el valor de los dígitos depende de su posición en el número. Así, como ya sabes, en los números enteros, yendo de derecha a izquierda, el primer dígito son las unidades, el segundo son las decenas, el tercero son las centenas y así sucesivamente (por ejemplo: 3874 = 3000+800+70+4). Sin embargo, en los sistemas no posicionales (como el romano) el dígito siempre tiene el mismo valor sea cual sea su posición en el número. Esto hace que se necesite una gran de símbolos para representar los números grandes, por lo que los hace poco prácticos para realizar operaciones con ellos (por ejemplo: en números romanos, 3874 es MMMDCCCLXXIV).

Hoy en día el cero es un elemento fundamental en el cálculo. Por ejemplo, constituye la mitad del sistema binario (0 – 1) que se usa en la programación informática.

El cero: una historia antigua milenaria

La introducción del cero en el sistema numérico para representar la ausencia de un objeto o cantidad, no se llevó a cabo sin dudas y problemas por parte de nuestros antepasados.

Todos los alumnos aprenden el número 0 en primaria, al aprender los números enteros naturales.

Por lo tanto, parece lógico colocar el 0 tanto como un número para marcar una posición de vacío, como un número para expresar una cantidad nula. El cero sirve, entre otras cosas, para delimitar los números positivos de los números negativos.

Pero no siempre ha sido así porque escribir lo que es nulo choca con la concepción filosófica y religiosa de las antiguas civilizaciones.

Los antiguos griegos creían que lo que existe es «uno»,pero no tenían la capacidad de abstracción necesaria para poder escribir lo que no es, lo que es inexistente. Para elmatemáticoAristóteles, por ejemplo, el vacío y el infinito no existían. En consecuencia,los griegos no tenían un sistema de escritura que incluyera el cero en su numeración, ya que el vacío chocaba con su mente racional.

Más tarde, los seléucidas de Babilonia (en la época de Alejandro Magno, hacia los siglos IV y III a.C.) usaron el cero como una posición de referencia, para distinguir el vacío entre los números. Por ejemplo, escribían «35» y «3 5» para 305.

Utilizado por los mayas durante el primer milenio de nuestra era, el cero tenía una función posicional entre los números, se utilizaba para marcar las fechas del calendario y para expresar las duraciones.

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El cero: imprescindible en la historia de las Matemáticas

La historia de las Matemáticas está llena debloqueos y descubrimientos sucesivos según la importancia de las religiones o según si los eruditos inventan herramientas más poderosas para progresar en aritmética, en álgebra o para elaborar un teorema.

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Alrededor del siglo V, el cero aparece como un número en sí mismo. Los hindúes, que representaban el cosmos como un universo que se extiende hasta el infinito, inventaron el cero (llamadosunya, que significa «vacío» en sánscrito) tal como lo conocemos hoy.

Brahmagupta, en el 628, publicaBrahmaSphuta Siddhanta,un tratado sobre astronomía que define el cero como la resta de un número por sí mismo (x - x = 0). Así, los hindúes inventan la primera ecuación con resultado nulo.

Hay que decir que, para los budistas e hindúes, el concepto de la nada es fundamental para alcanzar el nirvana.Representar el cero es, por tanto, natural para estos eruditos.

Gradualmente, los matemáticos especifican las propiedades matemáticas del número cerotratando de sumarlo, restarlo, multiplicarlo y dividirlo, a veces en vano. En Matemáticas, no podemos dividir un número entre cero, ya que va más alládel razonamiento matemático y es considerado un error por todas las calculadoras.

Por otro lado, al dividir el 1 entre un valor muy cercano al cero, por ejemplo, 0,01, se obtiene 100. La división de 1 entre 0,0000001 da 1 000 000. Por tanto, los hindúes descubrieron que cuanto más dividimos un número por un valor aproximado a 0, más nos alejamos de este número. Así descubrieron que el cero está íntimamente ligado al infinito, de ahí la propiedad de que 1/x es igual al infinito.

Pero eso no es todo: al intentar resolver la fracción 1/0 y explorar el infinito, los indios también admitieron la existencia de los decimales.

Desde el siglo VII hasta la expansión de la cultura árabe en el mundo musulmán (los países árabes están geográficamente cerca de los persas y los hindúes), el cero se toma prestado de los hindúes como representación del vacío y el infinito.

Cuando Occidente pretende que el alfabeto latino use números arábigos, ¡en realidad son números indios!

En los países árabes, la palabra «cero» se dice con la palabra árabe sifr, una etimología que también dará en español la palabra «cifra».¿Lo sabías?

El número 0 aparece en el siglo XII en Europa a través de la lengua árabe, hablada en la España musulmana, gracias a las sucesivas herencias de los matemáticos árabes.

Pero la Iglesia Católica Romana, reticente, desconfiada y desafiante, se niega a admitir que exista una escritura para describir la ausencia, la nulidad, el vacío y el infinito.

La palabra árabesifr, importada por el matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-1250), se introduce en todos los países europeos y se traduce al latín como«zephirum», que gradualmente se convierte en «zephiro», «zeuero» y finalmente «cero» en español, «zero» en italiano y «zéro» en francés.

El sistema de números decimales enriquece los cálculos y también facilita el comercio internacional. Así, los comerciantes contribuyen a imponer el cero en la numeración, aunque los líderes cristianos prohibieran el uso del 0, que representa la nada, la encarnación del Diablo.

En 1202, L. Fibonacci, que había viajado por África, Oriente Medio, Grecia y Egipto, publicóLiber abaci,un libro aritmético que compila todo elconocimiento matemáticoque se conocía en el mundo de la época.

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La aparición del símbolo

La primera vez que aparece el símbolo «0» tal y como lo conocemos en la actualidad es en el siglo IX y aparece en una inscripción en piedra, que indica el año 876. En esta inscripción, podemos leer que en la ciudad de Gwalior (en la India) «se plantaron unos jardines de 187 por 270 hastas (medida india), con los que podrían producir suficientes flores como para dar 50 guirnaldas al día a los empleados del templo Chaturbhuj». Los dos ceros que aparecen en el 270 y el 50 están escritos casi como lo haríamos hoy en día, solo que el 0 es algo más pequeño y está un poco elevado, casi como un superíndice.

No obstante, no podemos afirmar que el origen del cero fuera en la India solamente por esta inscripción, ya que el mundo árabe, el europeo y el asiático tenían mucho contacto comercial ya en el siglo IX y la inscripción no es lo suficientemente antigua como para demostrar que el cero se inventó allí. De hecho, hay una inscripción más antigua del año 683 de Camboya que contiene otro símbolo similar para el cero, según explica el matemático Amir Aczel en su libro En busca del cero.

Son escritos previos, como los de Aryabhata y Brahmagupta, como hemos dicho, los que apuntan a un origen indio. En esta línea, es importante destacar el texto matemático indio más antiguo, el manuscrito Bakhshali (hallado en el siglo XIX) que incluye una gran cantidad de fragmentos escritos desde el siglo III hasta el siglo X. En 2017, se realizó una precisa datación arqueológica con la técnica del carbono-14 que confirma que ese manuscrito contiene el símbolo para el cero más antiguo conocido: un punto impreso en una corteza de abedul, entre los siglos III y IV.

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Las operaciones con el cero

Tras su nacimiento en la India, el cero siguió creciendo como concepto. En el siglo IX, Mahavira estudia las posibles operaciones con el cero:

• Indica que la multiplicación de un número por cero es cero.
• Pero se equivoca en la fracción, al asegurar que si un número se divide por cero permanece invariable.

Posteriormente, en el siglo XII, Bhaskara II, el último de los matemáticos clásicos de la India, afirma que una fracción con denominador cero designa una cantidad infinita. También se conoce a este matemático por proponer un procedimiento para resolver las ecuaciones polinómicas de segundo grado (ax2+bx+c=0) muy similar al que utilizaría actualmente cualquier alumno de Secundaria.

Cero en la suma

Como sabes, en la suma el cero es el elemento neutro. Por tanto, un número x sumado con 0 vuelve a dar x. Ejemplo: 7 + 0 = 7

Cero en la resta

Igualmente, en la resta, el cero es el elemento neutro. Así, un número x restado con 0 vuelve a dar x, excepto cuando el cero es el minuendo, en cuyo caso resulta -x. Ejemplos: 7 – 0 = 7 / 0 - 7 = -7

Cero en la multiplicación

En la multiplicación, el cero es el elemento absorbente. Es decir, un número multiplicado por 0 da 0. Ejemplo: 7 × 0 = 0

Cero en la división

El cero puede ser dividido por otros números, en cuyo caso es el elemento absorbente (ejemplo: 0:7 = 0). Pero el cero no puede dividir a ningún número.

En los números reales, la división entre cero es una indeterminación, por lo que las expresiones 8/0 o 0/0 carecen de sentido. ¿Por qué? Pues no tiene sentido, por ejemplo, «repartir» 8 caramelos entre niños de un aula vacía, igual que tampoco tiene sentido repartir 0 billetes entre cero personas: nada entre nadie.

Por tanto, matemáticamente, el cero es el único número real por el cual no se puede dividir. Por eso el 0 es el único número real que no tiene inverso multiplicativo. Ejemplo:

• x/2 = x * 1/2 (correcto).
• x/0 = x * 1/0 (incorrecto porque 1/0 no es un número real).

Cero en la potenciación

• Si x es distinto de 0, entonces x⁰ = 1
• Si n es mayor de 0, entonces 0ⁿ = 0

El valor 0⁰ no está definido como potencia, pero según el contexto se puede elegir uno de los resultados mediante una definición. Algunas calculadoras científicas dan 1 como resultado.

En el contexto de los límites, 0⁰ es una indeterminación pues los límites de potencias tales que los límites de base y exponente por separado son cero, pueden terminar dando cualquier cosa.

Paridad

En el conjunto de los enteros, podemos decir que el 0 es un número par, ya que cumple con la definición de paridad y cuenta con todas las características de los números pares.

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Los diferentes símbolos del número cero

El cero no solo implica el punto de separación entre los números enteros negativos y positivos, o la ausencia de cantidad (unidad, decenas, centenas, etc.). El número 0 también tiene muchos símbolos cuyo alcance no es matemático, sino filosófico, religioso o cultural.

De hecho, el 0 simboliza la nada, el vacío, a veces el caos y el diablo. El 0 se usa para caracterizar el estado de lo que no vale nada, lo que es gratis (0 €, por ejemplo), infinitesimal (0,000000001, por ejemplo) o nulo.

Representa el origen de todo como punto de partida, así como el alcance de los límites a alcanzar.Por lo tanto, es inseparable del símbolo del infinito (el famoso ocho acostado es un doble cero que se cierra sobre sí mismo).

El simbolismo del cero también tiene un símbolo de unidad y eternidad, debido a su forma circular.Finalmente, el símbolo representa el comienzo.

Paradójicamente, el año 0 no existe en nuestro calendario gregoriano. Del año -1 se pasa al año 1, aunque reconocemos un punto 0 de nuestra era, que se supone que corresponde al nacimiento de Jesucristo.

Aquí tienes otros significados atribuidos al cero:

• La renovación, un nuevo comienzo; ¿no decimos «empezar de cero»?
• La seguridad, por su forma redonda y cerrada.
• La fertilidad, la feminidad, el feto.
• La perfección: cada punto de la circunferencia está vinculado a su centro y equidistante.
• El ciclo, la regeneración porque el trazo del cero vuelve sobre sí mismo.

El cero se encuentra en muchas expresiones comunes:

• Círculo de amigos (la unidad).
• Círculo vicioso.
• Empezar de cero.
• Tolerancia cero.
• Ser un cero a la izquierda.

Expresiones con las palabras «cero» y «nulo», por lo tanto, hacen referencia tanto a significados peyorativos como meliorativos, es decir, lo bueno, lo positivo, y el estado de lo que se pierde, no existe o está ausente.

Esto es normal: en matemáticas, esta cifra es tanto positiva como negativa.

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Algunaspropiedadesmatemáticasdelcero

Finalmente, ya que estamos hablando del cero en lasMatemáticas, ¿por qué no repasaralgunas propiedades matemáticas de esta cifra que no es tan obvia como parece?

Se dice que el cero es un número cardinal, que representa el conjunto vacío. Es el número entero natural más bajo, y también un elemento neutral, el único que no tiene contrario: es positivo y negativo.

Como hemos dicho, es el único valor que da un resultado sin cambios cuando se resta o cuando se suma a otro: 10 + 0; 10 - 0, 1 + 0 + 2 + 0 + 3 = 1 + 2 + 3, etc.

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El cero absoluto

El cero absoluto es la temperatura más baja posible. Esta temperatura corresponde, por definición según acuerdo internacional, a la temperatura de −273,15 °C o −459,67 °F. A esta temperatura, el nivel de energía interna del sistema es el más bajo posible. En otras palabras, según los preceptos de mecánica clásica, las partículas carecen de movimiento.

¡Pero el cero absoluto es un límite inalcanzable! Lo dice el tercer principio de la termodinámica (al llegar al cero absoluto, cualquier proceso de un sistema físico se detiene). No obstante, se ha intentado varias veces llegar a esta temperatura, ¡y casi se ha alcanzado!

En septiembre de 2014, científicos italianos del proyecto CUORE (Cryogenic underground observatory for rare events) del Instituto Italiano de Física Nuclear enfriaron durante 15 días un recipiente de cobre de un metro cúbico y 400 kilos en un criostato hasta los 0,006 kelvins (−273.144 °C) rozando el cero absoluto y estableciendo un récord para la temperatura más baja registrada en el universo conocido sobre un volumen tan grande.

Los investigadores tardaron algo más de diez años en diseñar y fabricar el criostato, la tarea más compleja del experimento, ya que la dificultad para llegar a una temperatura tan baja en una cámara de enfriamiento es el hecho que las moléculas de la cámara, al llegar a esa temperatura, no tienen energía suficiente para hacer que esta descienda aún más.

Este experimento se llevó a cabo para estudiar las propiedades de los neutrinos y otras partículas, lo cual permitiría demostrar, por primera vez, la transformación de antineutrinos a neutrinos, lo que ofrece una posible explicación para la abundancia de la materia sobre la antimateria en nuestro Universo.

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